Ученику (на репетиторстве он у меня) задали домашнее задание: доклад "Связь окружностей Аполлония с биссектрисами". При подготовке к олимпиадам как-то встречала окружность Аполлония как метод решения, но вот в ЕГЭ она ни разу мне не пригождалась, поэтому об этой окружности я имела смутное представление. Вчиталась в теорию.

 А вообще она красивая, эта окружность Аполлония. Вот процесс ее получения, листайте презентацию.

Ну, и как же эта тема без задачи о пиратах (а каждая вторая ссылка в интернете на материал об окружности содержит задачу о флибустьерах):

Пираты с острова Гаити узнали, что на якоре перед Каракасом стоит испанский галион, загруженный золотом. Как только закончится шторм, галион выйдет в Карибское море и возьмет курс на остров Ямайка. Пираты тоже ждут конца шторма, поэтому выйти в море они смогут одновременно с испанцами. Какой курс следует взять пиратам, чтобы не разминуться с испанцами, если скорость пиратского судна вдвое меньше скорости галиона?

  где k - это отношение отрезков СА к СВ. Как задано в задаче, К= 2.

Отложим отрезок АВ и О - середина этого отрезка.

По формуле радиуса окружности Аполлония R=2/3AB. О1 - центр окружности Аполлония, ОО1=5/6АВ.

Строим окружность с центром О1 и радиусом 2/3AB. Эта окружность пересекает траекторию испанцев дважды (могла и вообще не пересечь). Берем ближнюю точку, это выгодно для пиратов.

Ответ: курс захвата корабля с золотом - отрезок АМ.